2019教育人教课标版 九年级上册(年3月第1版) 用待定系数法求二次函数的解析式(35张PPT)数学_图文

发布于:2021-04-15 23:07:42

说一说

说出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:

y=3x2

y= -2x2+3

y= - 4(x+3)2

y=

1 2

(x-2)2+1

y=x2+2x+1

如果要求二次函数解析式y=ax2+bx+ c(a≠0)中的a、b、c,至少需要几个点的坐标?

温故而知新
二次函数解析式有哪几种表达式?
? 一般式:y=ax2+bx+c (a≠0) ? 顶点式:y=a(x-h)2+k (a≠0) 特殊形式 ? 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)

函数模型的选择

? 已知图象上三点或三对的对应值,
通常选择一般式 y
? 已知图象的顶点坐标(对称轴和最值)
通常选择顶点式

o

? 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,

x 通常选择交点式

确定二次函数的解析式时,应该根据条件的特点, 恰当地选用一种函数表达式,

一般式: y=ax2+bx+c

例题选讲
例1 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于
A(-1,0),B(3,0),并且过点C(0,-3), 求抛物线的解析式?

顶点式: y=a(x-h)2+k
交点式: y=a(x-x1)(x-x2)

解: 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
由条件得: 0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c
得: a=1 b= -2 c= -3

故所求的抛物线解析式为 y=x2-2x-3

一般式: y=ax2+bx+c

例题选讲
例1 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于
A(-1,0),B(3,0),并且过点C(0,-3), 求抛物线的解析式?

顶点式: y=a(x-h)2+k
交点式: y=a(x-x1)(x-x2)

解: 设所求的二次函数为 y=a(x+1)(x-3)
由条件得: 点C( 0,-3)在抛物线上
所以:a(0+1)(0-3)=-3 得: a=1
故所求的抛物线解析式为 y= (x+1)(x-3) 即:y=x2-2x-3

一般式: y=ax2+bx+

例题选讲

c 例2 已知抛物线的顶点在(3,-2),且与x轴两交点

的距离为4,求此二次函数的解析式.

解:设函数关系式 y=a(x-3)2-2

顶点式: ∵抛物线与x轴两交点距离为4,对称轴为x=3
y=a(x-h)2+k
∴过点(5,0)或(1,0)

把(1,0)代入得, 4a=2

交点式: y=a(x-x1)(x-x2)

a=

1 2

∴y=

1 2

(x-3)2-2

方法小结
用待定系数法确定二次函数解析式的 基本方法分四步完成: 一设、二代、三解、四还原
一设:指先设出二次函数的解析式
二代:指根据题中所给条件,代入二次函数的 解析式,得到关于a、b、c的方程组
三解:指解此方程或方程组 四还原:指将求出的a、b、c还原回原解析式中

小试牛刀
1、已知二次函数的图像过点(0, 0),(1,-3),(2,-7) 三点,则该二次函数关系式为__y__?_?__12_x_2_?__52_x_。 2、若二次函数的图像有最高点为(1,-6),且经过点 (2,-8),则此二次函数的关系式__y_?_?_2_(_x_?_1_)2_?_6__
3、若二次函数的图像与x轴的交点坐标为(1,0)、(2,0) 且过点(3,4),则此二次函数的关系式为_y_? _2 _(_x_? _1 _)(_x_? _2)

?1.已知一个二次函数的图象 经过(-1,8),(1,2), (2,5)三点。求这个函数的 解析式

1.根据下列条件,求二次函数的解析式:
1、 已知抛物线经过 (2,0),(0,-2), (-2,3) 三点.
2、已知抛物线的顶点坐标为 (-1,-2), 且通过点(1,10).
3、已知抛物线与x轴交点的横坐标为2和1,且通过点(2,8).

2、已知抛物线的顶点为(-1,-3)与 y轴交点为(0,-5)求抛物线的解 析式?
解:设所求的二次函数为 y=a(x+1)2-3
由题意得: 点( 0,-5 )在抛物线上 a-3=-5, 得a=-2
故所求的抛物线解析式为 y=-2(x+1)2-3 即:y=-2x2-4x-5

4、二次函数y= ax2+bx+c的对称轴 为x=3,最小值为-2,,且过点 (0,1),求此函数的解析式。

4、抛物线的对称轴是x=2,且过 点(4,-4)、(-1,2),求 此抛物线的解析式。

5、已知二次函数的对称轴是直线
x=1,图象上最低点P的纵坐标为
-8,图象经过点(-2,10),求这 个函数的解析式.

6、已知抛物线的顶点在原点,且 过(2,8),求这个函数的解析式。
7、抛物线y=ax2+bx+c经过(0,0) 与(12,0), 最高点的纵坐标 是3,求这条抛物线的解析式

8、已知抛物线与X轴交于A (-1,0),B(1,0)并经过点M (0,1),求抛物线的解析式?

9、 已知抛物线y=-2x2+8x-9的 顶点为A点,若二次函数 y=ax2+bx+c的图像经过A点, 且与x轴交于B(0,0)、C (3,0)两点,试求这个二次 函数的解析式。

10、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图 象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,6)。求a、b、c。
解:∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时,x=1 ∴顶点坐标为( 1 , 2) ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点(3,-6) ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即: y=-2x2+4x

11、已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线 y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1 上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足 此条件的抛物线的解析式.

解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同

? a=1或-1

又 顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,

? 顶点为(1,5)或(1,-5)

所以其解析式为:

(1) y=(x-1)2+5

(2) y=(x-1)2-5

(3) y=-(x-1)2+5

(4) y=-(x-1)2-5

展开成一般式即可.

12、 已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图 所示:

(1)求此抛物线的解析式; y

(2)当x取何值时,y>0?

(3)将抛物线作怎样的一次
A
平移,才能使它与坐标轴仅有 -1 o 两个交点,并写出此时抛物线 -2.5 D

B 5x

的解析式。

C

13、 已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示: y
(1)求此抛物线的解析式;

(2)当x取何值时,y>0?

(3)将抛物线作怎样的一次 A
平移,才能使它与坐标轴仅有 -1 o

B 5x

两个交点,并写出此时抛物线 的解析式。

-2.5 D C

14、 已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示: y
(1)求此抛物线的解析式;

(2)当x取何值时,y>0?

(3)将抛物线作怎样的一次 A
平移,才能使它与坐标轴仅有 -1 o

B 5x

两个交点,并写出此时抛物线 的解析式。

-2.5 D C

15、 已知:抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示: y
(1)求此抛物线的解析式;

(2)当x取何值时,y>0?

(3)将抛物线作怎样的一次 A
平移,才能使它与坐标轴仅有 -1 o

B 5x

两个交点,并写出此时抛物线 的解析式。

-2.5 D C

4、m为 时,抛物线 y?2x2?m?x4
的顶点在x轴上。
5、已知一个二次函数的图象经过(-1,10), (1,4),(2,7)三点, 求这个函数的解析式。
6、已知一个二次函数的图象经过点(6,0), 且抛物线的顶点是(4,-8),求它的解析式。

巩固提高
1、已知四点A(1,2)、B(0,6)、C(-2,20)、D(-1,12) 试问是否存在一个二次函数,使它的图像同时 经过 这四个点?如果存在,请求出关系式; 如果不存在,请说明理由.

2、若抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且 经过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线解析式?
3、已知二次函数的图像过点A(-1,0)、B(3,0), 与y轴交于点C,且BC=2 3 ,求二次函数关系式?

实际应用
有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱 的最大高度为16m,跨度为40m.施工前 要先制造建筑模板,怎样画出模板的轮 廓线呢?
分析:通常要先建立适当的直角坐标系,再 写出函数关系式,然后再根据关系式进行计算,放样画图.

y 16
-20

20 x

有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱 的最大高度为16m,跨度为40m.现把它 的图形放在坐标系里(如图所示),求抛 物线的解析式. 解 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
法一:根据题意可知:抛物线经过(0,0),(20,16)和(40,0)三点 可得方程组

解a 得 ??1,b?8,c?0



25 5 所求抛物线解析式为 y ??

1

x2

?8x

25 5

有一个抛物线形的立交桥拱,这个

桥拱的最大高度为16m,跨度为40m.

现把它的图形放在坐标系里(如图所示),

求抛物线的解析式.

解 设抛物线为y=a(x-20)2+16

法 二

根据题意可知 ∵ 点(0,0)在抛物线上,

∴ 所求抛物线解析式为

知识应用
有一个抛物线形的立交桥拱,这个 桥拱的最大高度为16m,跨度为40m. 现把它的图形放在坐标系里(如图所示), 求抛物线的解析式. 解: 设抛物线为y=ax(x-40 )
根据题意可知 ∵ 点(20,16)在抛物线上,

已知当x=-1时,抛物线最高点的纵坐标为4, 且与x轴两交点之间的距离为6,求此函数解析式

解:根据题意得顶点为(-1,4)

y

由条件得与x轴交点坐标

(2,0);(-4,0) 设二次函数解析式:y=a(x+1)2+4

x o

有0=a(2+1)2+4,得a= ?

9 4

故所求的抛物线解析式为 y= ? 9 (x+1)2+4

4

大显身手
1、已知四点A(1,2)、B(0,6)、C(-2,20)、D(-1,12) 试问是否存在一个二次函数,使它的图像同时 经过 这四个点?如果存在,请求出关系式; 如果不存在,请说明理由.
2、若抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,
且经过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线解析式?
3、已知二次函数的图像过点A(-1,0)、B(3,0),
与y轴交于点C,且BC=2 3 ,求二次函数关系式?


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